Оскільки у вершинах опуклого багатогранника не можуть сходитися правильні багатокутники з числом сторін більше п'яти, то, використовуючи теорему Коші про жорсткість опуклого багатогранника, отримуємо, що інших правильних багатогранників не існує, і таким чином, є тільки п'ять правильних багатогранників: тетраедр, …
Правильних багатогранників існує всього 5. Перерахуємо їх. Правильний тетраедр – багатогранник, що складається з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників, отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180.
Список правильних багатогранників
| Правильний багатогранник | Число вершин | Число ребер |
|---|---|---|
| Гексаедр | 8 | 12 |
| Октаедр | 6 | 12 |
| Додекаедр | 20 | 30 |
| Ікосаедр | 12 | 30 |
Справді, грані не можуть бути шестикутникамиоскільки в кожній вершині повинні сходитися не менше трьох граней. Але кути в правильному шестикутнику рівні 120 °, сума трьох кутів дорівнює 360 °, а сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 ° (див.