Просуватися. Про – приставка, що не вказує на давність. Докорінно буква І, перевірочне слово – рухатися.
Крізь на кінці пишеться "зь", а чуємо парний м'який приголосний звук [с']; перевіримо – прозирати, у ньому потрібний м'який парний звук [з'] чується виразно, оскільки стоїть перед голосним "і". Парних приголосних по м'якості – твердості більшість, непарними м'якими бувають [й'ч'щ'], непарними твердими – [ж ш ц].
"Розвиватися"і "розвіватися" – це два абсолютно різні слова. Перевірити правопис можна підібравши перевірочний слово. Розвивається – розвиток (розвиватися може людина). Розмахуючи – віяти (майорить прапор).